選択公理オフ

選択公理ちゃんマジ公理!

前々から一部の間でやろうと言われていた選択公理オフ会です。基本的には

. 選択公理と同値な命題を挙げる → その同値性を証明する

みたいなことをやります。ようするにセミナーです。扱う命題はその場の雰囲気や希望で決めたいと思います。発表者超募集中。意見など気軽にください。

参加が確定した人は「参加者」に入れてください。

参加資格

基本的に誰でもOK。但し

. 選択公理⇔Zornの補題⇔整列可能定理

↑この文字列の意味(証明できる必要は無し)くらいは分からないと来ても理解不能になるかもしれません。理解不能でもいい、選択公理厨に会ってみたいんだ、というのであれば止めませんが。

開催場所

駒場のセミナー室で開いているところを適当に探せばいいとアドバイスを貰ったのでそうしようかと思っています。

集合場所は駒場の正門のあたり。(駒場東大前駅を出てすぐ。下参照)

目印に黄色い本を持っていきます。

開催日時 

11/12(土)　13:00 集合

発表者募集中

選択公理に関することならば基本的に何でも良いですが、特に以下の内容を募集しています。

●「選択公理⇒Zornの補題」の分かりやすい証明

●「解析学に関する命題」の同値性証明、特に以下のもの。証明は[1]か、文末の番号の文献に載っています。アレだったら証明は片側だけでも良いです。　※私は解析学がよく分からないので基本的な用語の定義から説明してくれると助かります。

• The unit sphere in the dual of a normal vector space over he reals has an extreme point. [2]
• Let X be a real vector space, Y a subspace and S a subset of X. Suppose p: X→R is a sublinear functional on X and f: Y→R a linear functional such that f(y)≦p(y) for all y∈Y. then the set Z of all p-dominated linear extensions of f to X has an element g such that for all h∈Z and g(s)≦h(s) for all s∈S, we have g(s)=h(s) for all s∈S. That is, g is S-maximal in Z. [3][8]
• Let X be a real vector space and Y a subspace. Suppose p: X→R is a sublinear functional on X and f: Y→R a linear functional such that f(y)≦p(y) for all y∈Y. Then the set Z of all p-dominated linear extensions of f to X has an extreme point. [4][5][8]
• Let X and Y be T 2 spaces, f: X→Y a continuous map, and μ an (inner) regular Borel measure on Y. if μ is inner regular with respect to the system of sets { f''K: K is a compact subset of X }, then there is a regular Borel measure ν on X such that μ=νf. [6][7][8]
• Let X be a real vector lattice with a distinguished order-unit (denoted by 1), Y a sublattice of X, and Z the set of all positive linear functionals F on X such that F(1)=1. then there exists an extreme point M of the convex set Z which is Y - minimal in Z. [9]
• If <L, ≦> is a Boolean algebra with identity 1, and K is a sublattice of L then there exists a two-valued K-minimal measure μ on L such that μ(1)=1. [6][7][8]

これらは全て[1]から引用しました。解析以外の命題を知りたい場合は[1]を見るか、他の文献を探すか、俺に言ってください。

参考文献

[1]Equivalents of the Axiom of Choice II

[2]Bell J. L. & Fremlin D. H. , A geometric form of the axiom of choice, Fund. Math. 77, 167-170 

[3]Andenaes P. R. Hahn-Banach extensions which are maximal on a given cone, Maht. Ann, 188, 90-96  http://www.springerlink.com/content/v4rj31746u357841/ 

[4]Bonsall F. F. Sublinear functionals and ideals in partially ordered vector spaces, Proc. London Math. Soc. 4, 402-418

[5]Bonsall F. F. Extreme maximal ideals of a partially ordered space, Proc. A.M.S. 7, 831-837

[6]Lembcke J, Konservative Abbildungen und Fortsetzung regulärer Masse, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 15, 57-96

[7]Lembcke J, Reguläre Masse mit einer gegebenen Familie von Bildmassen, Sitz-Ber. Math.-Naturw. Kl. Bayr., Akad. Wiss. 1976, 61-115

[8]Lembcke J, Two extension theorems effectively equivalent to the axiom of choice, Bull. London Math. Soc. (1979) 11 (3) , 285-288

[9]Edwards D. A. Two theorems of functional analysis effectively equivalent to choice axioms, Fund. Math. 88, 95-101